Системы счисления: как люди начали считать?

Одна из самых известных древних стоянок первобытного человека — это стоянка Дольни-Вестонице на юго-востоке Чехии. Среди множества предметов, обнаруженных на ней, археологи однажды нашли берцовые кости волка с зарубками. Древний охотник, оставивший эти зарубки, что-то явно перечислял: может быть, трофеи, может быть, прошедшие дни. Эти палочки были объединены в группы по пять штук — что логично, потому что у человека на руках пять пальцев. Французский математик Анри Лебег по этому поводу как-то раз сказал: «Если бы на руках у человека было 11 пальцев, то мы несомненно считали бы в одиннадцатеричной системе».

Однако долгое время счёт первобытным племенам был не нужен: мы и сейчас знаем малые народности, которым понятие счёта совершенно ни к чему. Зачем и как люди начали считать? Как развивались системы счёта? Рассказываем в нашей статье. 

Начало начал

Считать нам кажется чем-то очень естественным. Однако первобытным племенам счёт не был особенно нужен: торговли как системы сложного обмена не было, существовал только натуральный обмен по типу «одна рыба — один нож». В математике сейчас он обозначается как «взаимно однозначное соответствие». Немецкий математик Георг Кантор в XIX веке положил этот процесс в основу сравнения бесконечных множеств и тем самым дал начало одному из не самых простых подразделов математики под названием «теория множеств». Но это так, к слову. 

Один, два, много

Появление чисел было длительным процессом. По свидетельствам лингвистов, во многих языках «один» и «два» обозначались разными словами в зависимости от того, какие предметы считали. Один козёл и одна овца — это разные словосочетания и разные слова для этого «один». Выделение абстрактного понятия «один» заняло много времени: как ни странно, но чтобы понять, что Луну, мышь, дерево и кота объединяет то, что эти предметы находятся в единственном числе, мышлению человеческому пришлось довольно изрядно развиться. 

О том, как люди научились записывать свою речь, мы рассказываем в статье «Как пишут люди: история письменности»

Первый численный ряд звучал так: один, два, много. Такой ряд в какой-то степени отражён даже в современных нам поговорках: «три» – это не конкретно «три» в выражениях типа «наврал с три короба» или «обещанного три года ждут», это попросту «много». 

Лотос, палец и лягушка

Каждая цивилизация изобретала свои способы считать и записывать результаты этого счёта. В Древнем Египте, как всем известно, писали иероглифами — и числа записывали тоже ими. С первыми тремя цифрами всё ясно: единица, двойка и тройка записывались как одна, две и три палочки соответственно. А вот другие числа записывались метафорически: изображение лотоса обозначало 1000, палец — 10 000, лягушка обозначала 100 000. 

У египтян была десятичная система; всё, что не являлось степенью десятки, записывалось путём повторения этих цифр. Например: число 4662 можно было бы записать как «четыре кувшинки (4*1000), шесть петель верёвки (6*100), две пятки (2*10) и две черты (2*1)». 

Астрономия, Вавилон и шестёрки

Одной из систем, которые сильно повлияли на наш способ счёта, была система счёта Древнего Вавилона. В этой цивилизации изобрели «двоичную» систему записи любого текста или любого числа – сочетание стоячих и лежачих клинышков, объединяемых в те или иные группы. 

Почему клинопись?

Клинышки как таковые появились очень просто: их было легко оставлять на глиняных табличках, а потом эти таблички высушивать. Различные сочетания клинышков в зависимости от своих сочетаний и места написания могли считываться и как текст, то есть последовательность слов, и как последовательность чисел. Вообще удивляться этому совершенно не стоит: использование букв для записи чисел было в некотором роде даже общим местом для многих цивилизаций. 

Возьмём те же римские цифры — это ведь тот же самый римский алфавит. Или так называемая «цифирь» — алфавитная запись чисел с помощью кириллицы или глаголицы, которая существовала в России вплоть до XVIII века. Здесь, кстати, можно заодно вспомнить, что слова «читать» и «считать» в русском языке, как и многие их аналоги в других славянских языках, одного корня. 

Аккадско шумерское счисление 

Так что запись клинышками и слов, и чисел не является чем-то странным. А вот сама система счёта Древнего Вавилона до сих пор частично покрыта сумраком даже для специалистов. Отчего же? 

Дело в том, что в своём счёте вавилоняне доходили до числа 59, записывая знаки слева направо; после этого с левого краю ставили клинышек, который уже обозначал не единицу, а то, что эта запись числа 60. Таким образом, вавилоняне имели хитрую систему счёта: до 60 она была десятичной непозиционной, а после 60 — шестидесятеричной позиционной. 

Существует множество версий, как жители Месопотамии дошли до жизни такой. Наиболее приземлённая из них звучит так: смешались друг с другом аккадцы и шумеры, у каждого из народов была своя денежно-весовая система. У аккадцев эта мера называлась мина, а у шумеров — сикль (кстати, это однокоренное слово с известным многим словом «шекель»). И то, и другое не было монетами, а было слитками серебра, и 1 мина примерно равнялась 60 шекелям; возможно, так эта сложная система и получилась. Потом эта система стала привычной и породила традицию записывать числа именно таким образом. 

Знакомая шестидесятеричная система

Как бы то ни было, но шестидесятеричная система счисления знакома и нам, и сталкиваемся с ней мы ежечасно. Более того, даже ежеминутно. Ведь час мы делим на 60 минут, минуту на 60 секунд и так далее; это «привет» нам как раз из древних вавилонских времён. И углы в геометрии — то есть градусы, минуты и секунды — тоже все завязаны на числе 60. Но тут уже никакой тайны нет: просто в Древнем Вавилоне астрономия была очень развита, и знания вавилонских учёных распространились в том виде, в котором эти учёные их и записывали. За долгие века и тысячелетия — да, вышеописанная система появилась в III тысячелетии ДО нашей эры – многие пытались свести счисление времени и углов к привычной десятичной системе. Но попытки эти успехом не увенчались. 

Вавилонская система была позиционной, это мы уяснили, но давайте теперь зададимся вопросом. А как в записи показывали отсутствие какого-либо разряда? Мы для этого используем ноль. Как он появился? 

Ноль, великий и ужасный

В Вавилоне довольно быстро поняли, что отсутствие разряда можно каким-либо образом указывать в записи; однако самого знака нуля придумать древние шумеры так и не смогли. Они оставляли между знаками пробел побольше; особенно этот знак был заметен в вычислительных таблицах того времени типа таблиц умножения. Вернее, на нашу привычную таблицу умножения, что пишут на тетрадках, эти таблички похожи только принципом; вавилонянам приходилось зубрить гораздо более увесистую табличку размером 59 на 59, то есть выучивать около 1770 равенств. 

Когда появился ноль?

Открытие нуля вообще до сих пор является столь же тёмным местом в истории математики, как и шестидесятеричная система счёта. Дело в том, что у нуля в записи чисел получается двоякая функция: с одной стороны, он является тем, что разграничивает разряды между собой, и в этом плане он автоматически появляется в любой позиционной системе. А вот ноль как нейтральное явление – это уже существенный момент, который показывает способность человека мыслить абстрактно, а не конкретно. 

Допустим, в древних системах счисления Рима, Греции и Китая нуля не было вообще, крупным числам назначали отдельные символы, практически как в Древнем Египте, о чём мы писали выше. Ещё любопытней ситуация с нулём у индейцев майя: он у них был, использовался, но только в жреческих календарных практиках – в обыденной жизни индейцы использовали пять иероглифов, которых им хватало. Этим же самым знаком и словом они обозначали и бесконечность, а счёт дней месяца у них начинался с нулевого дня. Здесь волей-неволей напрашивается аналогия: ровно та же проблема у них случилась и с колесом, которое использовалось в игрушках и в священных предметах, а в реальной жизни так себе применения и не нашло. 

В общем и целом, большинство исследователей считает, что ноль как понятие, обозначающее не только позиционный пропуск, но и отсутствие в принципе, пришёл к нам из Индии. Что там у индусов? 

Системы нумерации Индии

В Индии вообще было много систем счисления. Например, числа кхароштхи и числа брахми. Вернее, их опять же очень условно можно назвать цифрами: вообще-то это были слоговые письменности, с помощью которых можно было зафиксировать и слово, и число.

Словесная система

Была и словесная, а не слоговая, система записи чисел. Научные трактаты писали на санскрите в форме стихов; поэтому многие математические данные и преобразования записаны огромным количеством синонимов. Индийцы брали слова — например, те, что существуют только в одном или только в двух экземплярах — и обозначали этим словом цифру. Например, Луна есть только одна; Земля тоже только одна; таким образом, для единицы набиралось 39 синонимов. Для двойки использовали слова, которые обозначали глаза, губы, уши – в общем, получалась довольно-таки поэтическая математика. Вот, например: «Луна, дыра, крылья, Луна» — что это за число? А это 1021: потому что Луна одна, дыра есть ничто, то есть как раз-таки ноль, крыльев два, Луна снова одна. Вот и получилось число! 

Тайны санскрита вы можете прочесть в нашей статье «Санскрит: язык языков»

Однако эта традиция осталась исключительно внутренней индийской; а вот слоговые числа брахми через ряд преобразований превратились в наши хорошо узнаваемые цифры от нуля до девятки. Но ведь мы знаем со школы, что десятичная позиционная система счисления с записью нам знакомыми числами — это арабские цифры. Причём тут Индия? 

Цифры арабские или индийские?

Древние цивилизации тоже общались между собой. Среди математиков древнего арабского Востока был Аль-Хорезми — математик, астроном, историк. Он в своих странствиях по Индии в IX веке познакомился с позиционной десятичной системой счисления, которая за 50 лет до него как раз и распространилась в Индии. Он написал книгу «Арифметика, или Книга об индийском счёте». А уже эта книга в XII веке попала в Западную Европу, и с ней познакомился Леонардо Пизанский — более известный нам как Фибоначчи. Он был не только самым первым крупным математиком средневековой Европы, но и тем, кто переизложил основные принципы «Арифметики» Аль-Хорезми на латынь.

Так постепенно позиционная система счисления и арабские, они же индийские цифры стали распространяться по Европе. Таков был длительный путь этих маленьких, но очень удобных закорючек к нам. Теперь мы ими, помимо прочего, записываем даты рождений любимых людей, своих старших родственников, своих детей. А чтобы не потерять эти даты, их можно зафиксировать на родословном древе в нашей Цифровой капсуле времени.